数学家天文学家夏志宏：认知极限和不可能的挑战

2016年5月21日，在中国科技馆内举办的理解未来第16期讲座中，著名数学家、天文学家夏志宏教授发表了名为《认知的极限和不可能的挑战》的精彩演讲。以下是夏教授的演讲内容（篇幅所限，略有删节）：

数学是现代科学的基础，现代数学的发展带动了现代科学的发展。但今天我讲的不是数学如何有用，而是几个简单的数学故事，也是数学发展过程中遇到的很有意思的问题，希望大家得到一些启发。另外我也希望能提出一些比较有争议性的问题。这些问题我考虑过，但我自己没有答案，希望引起一些讨论。

一不可能的挑战之：如何三等分一个角？

第一个问题中学生可能都知道，即如何用直尺跟圆规作图？圆规跟直尺作图从古希腊就开始了。2000多年前，它的规则非常简单：通过两点可以连一条线，另外一个规则是两个点之间可以做一个圆。其他的规则都很简单，总共五条最基本的，两点可以做线、两点可以做圆，两个线交在一起是有一点，两个圆交在一起有一点，两个直线和圆交接在一起可以找它们交接的点，就这五个非常简单的规则。

从古希腊开始就提出来一个有意思的问题：如何三等分一个角？这是一个非常古老的问题，几千年来人一直试图在做。但最后我们发现，这个问题是一个不可能的挑战。1837年一个法国数学家证明，用尺规无论你怎么做都，都做不了这件事，无论怎么办，都没有办法用圆规跟直尺三等分一个角，这是我今天讲的第一个例子。这个例子给我一个什么样的启发呢？假如规则是有限的，那么有很多事我们做不了，这不仅是在数学，包括其他的学科都是一样的。

二不可能的挑战之：五次方程的解是什么？

我再举几个例子。在欧洲的几百年前有一个游戏，一帮科学家在比赛谁能解方程，大家经常找到一个解方程的方式，他们不去发表而是自己偷偷摸摸地找一个方式在比赛的时候可以用。所以在欧洲大家比赛的时候有人就试图解五次方程。这个问题也是花了很多很多年，大家试图去找这个方程的解，结果发现这个方程不是无解，任何一个五次方程都有解，它的解不可以用公式的形式表达出来，也就是说，到了五次方程以后，是写不出来的，这是一个不可能的挑战。

我先讲一下这个例子跟刚才的例子有什么关系。把一个方程的解写出来，可我们写的方法是有限的。而这个有限的方式，至多是加、减、乘、除、开根、平方、立方，我们只有这几种方式，开立方、开立方，三次方、四次方、五次方、开三次方、开四次方、开五次方。尽管我们有不少的工具，但我们的工具还是不够的，它是没有办法解出来的。谁证明呢？这两个非常伟大的数学家。第一个数学家是阿贝尔。他是1802年生的，1829年去世的，才28岁。阿贝尔证明了有一些方程的解结构太复杂，根式太复杂，没有办法用根式求解。另一个是法国数学家伽罗华，人家都称他是历史上最聪明的数学家，也是最愚蠢的数学家。他是1811年生的，1832年去世的，去世的时候只有20岁。他是跟人决斗去世的，我们现在看到的他的很多的东西就是他决斗前的一天晚上写出来的，他是第一个提出数学中“群”的概念。

五次方程，还有很多的地方还有人试图找一般的解的形式，但是我们知道它根式的解是不存在的，找不到一个公式。回到刚才讲的主题，因为我们的表现形式有限，所以有些问题是无解的，并不是所有的问题都有解。

三不可能的挑战之：三体问题

我们再看下面的问题，我本人是天文系毕业的，我做天体力学，很重要的问题是三体问题，有一本小说《三体》，大家对此很感兴趣。三体问题是一个什么问题呢？比如这是太阳、地球、月球，三个质点的运动，描述这三个质点的运动的问题就叫三体问题。三体问题是推动现代科学发展的最重要的问题之一。古典解决三体问题的方法是什么？是找首次积分。哪些是首次积分？比如说能量守恒定律、动量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律，这都是一些物理定律，每个物理定律给人一个首次积分。解决一个古典的力学问题，以前意味着只要找首次积分就行了。所以大家花很长时间，从牛顿开始试图解决三体问题。那个年代大家就认为能找到首次积分，结果这又是一个不可能。我们通常说的三体问题不可解的意思就是我们找不到首次积分。这是谁证明的？一个是Bruns在1887年，他说我们用任何代数的形式是不存在首次积分的。在1889年庞加莱这样一个非常有名的数学家证明了没有任何其他形式的首次积分。代数表达的方式太有限了，所以不存在解。其实解析函数也不存在解，这就是经典意义下的所谓的三体问题不可解。

这个例子告诉大家我们花几百年的时间我们试图解决的这个问题，到最后我们站在稍微高一个层次看这个问题，发现这个问题是无解的。这也告诉我们做科学的时候，站得高一点点，跳出习惯性的思维以外，而不是找这个问题的解。

四不可能的挑战之：是否存在完备的公理体系？

下面的内容数学含量比较高，但是我会用非常通俗的语言来解释，让大家听懂。数学里面从有限的数123456，一到无穷大以后就涌出了很多的问题。无穷大跟有限数是完全不一样的，我现在举一个例子解释无穷大为什么跟有限不一样。这里有一个旅馆，旅馆是谁开的呢？是希尔伯特开的旅馆。这个旅馆是个什么样的旅馆呢？这个旅馆有无穷多的房间每个房间前面有一个人，但是一排有无穷多个房间，每个房间都住满了，突然希尔伯特开的旅馆又来了一个客人，他说我想住进去，正常情况下假如我开的旅馆有100套房间，每一套房间有一个人的话，再来一个人我就说，对不起今天客满你没法儿住。但这个旅馆有无穷多的房间，又来了一个人，老板说没问题你再来几个人都没问题，我怎么办？我让刚来的这个人先住第一个房间去，让第一个人住到第二个房间去，让第二个人住到第三个房间去。我每个人都有房间住，而且每个人都是单独有一个房间。假如说房间有无穷大，有无穷多个旅馆加一个人没有问题，再加一个人还是没有问题，所以“无穷大”跟“有限”有非常本质的区别。无穷大+1跟原来一样大，这样多来一个人、多来两个人往上加就是了，这是一个非常重要的性质，无穷大。

自然数123456是最小的无穷大，任何一个无穷大都可以开始数。从1、2、3，我再加上0，无穷多个房间来了一个0号的客人，0号的客人住到1号去，1号住到2号去，2号住到3号去，这是一个比较，这个集合再加一个数字跟原来的集合是一样大。一个无穷大的集合再加一个进去，跟原来的大小是一样的，房间还是可以住，都没有问题。我说，我有两倍的无穷大怎么办，我有123456这是一个无穷大，可是我把所有的整数都放进去也没有问题，我让0住到1的房间去，1住到2的房间去，-1住到3的房间，2住到4的房间，-2住到5的房间，因为我有无穷多的房间，所以没有问题。2倍的无穷大，无穷大+1还是无穷大，无穷大×2还是无穷大，并没有增加这个数字，它的数字的总量没有变化，这是无穷大的特殊性质。而且我们知道更多，有理数的集合，就是所有的分数，两个整数相除是一个分数，这个分数应该比整数要多得多，有理数在整个数族到处都是，但可以证明一个事，数学家可以证明有理数还是跟自然数一样大，我把有理数可以全部地放在希尔伯特的旅馆里，也就是说有理数并没有多，跟我的自然数一样多，但是大家一想是不是无穷大全是无穷大？是不是所有的无穷大，都一样大？但是，实数的集合比自然数的集合要大，这是康托证明的一个定理，我说了这么多数字的无穷大，但一个实数的集合，0到1之间所有的数加在一起，这不再是跟有理数一样大了，这时候跟实数一样大，证明的方法用了逻辑上非常非常有名的例子，用到数学上，康托发明的方法叫康托对角线方法，借用到了理发师悖论。这是集合论里面是非常非常重要的例子。

现在问题来了，我刚才说了，自然数是一个无穷大，实数是一个无穷大。我们可以接受。那么有一个简单的问题，有没有一个集合比自然数大一些，比实数小一些？这很简单，大家可能想有理数但有理数很不幸跟自然数是一样大的。有没有一个集合比刚才数的123456…数出来的数要大一些，但比整个实数要小一些？这是一个非常重要的数学问题。希尔伯特在上个世纪初，1900年给了23个著名的数学问题，这23个著名的数学问题推动了很多很多的数学发展，整个100年的很大部分数学发展是跟希尔伯特的23个数学问题有关。第一个问题是什么？就是我刚才问的问题，也就是说有没有一个集合比自然数大，但是比实数小，希尔伯特的猜测是没有，这个猜测就叫连续统假设。我说了这是一个非常易懂的问题，因为自然数比实数小，所以我就问有没有介于自然数和实数之间的集合，这个听起来比较抽象，可是问题其实很简单。这是1900年提出的问题，第一个结果是哥德尔证明的，连续统假设，刚才的问题，不可以被证伪，大家觉得很怪，我刚才提出的连续统假设，哥德尔说我们肯定没法证明它是错的，Cohen在1963年证明这个问题没有办法证明它是对的。大家觉得莫名其妙。可能很多人想不通，为什么会有一个结论，我说它对的它就是对的，你说它错的它就是错的。那究竟是是对的还是错的？这个问题的本身是无解的。连续统假设这个命题，就是你假如说它对的话，它就是对的，你说它错的它就是错的，大家觉得非常非常地怪，其实在公理体系里，这种现象经常发生。

哥德尔这个人很有意思，他之前证明了一个定理：任何一个公理体系都是不完备的，也就是说我们在数学的框架里，你从开始有一个框架，无论搭一个什么样的框架，这个都不可能是完备的，也就是说你怎么搭这个框架，这里面总有一个猜测不能被证明，也不能被证伪。至少有一个，但一个就意味着很多，这个结论也是没有办法。非常遗憾的是希尔伯特曾经花很长时间试图找到一个完备的数学系统，而且欧洲那个时候非常流行的事，是一帮科学家、一帮哲学家、一帮数学家希望找到一个体系可以管理整个社会，找到一套体系相当于现在的法律体系，一个完备的体系，让整个社会按照这个完备的法律体系，但这种实践很快发现是不对的，尤其是哥德尔的证明使这套思路非常遗憾。但这说明了什么事呢？说明了只要你有公理体系，一条一条列出来都是非常有限的，也像几何作图和代数方程的解一样，只要一条条列出来，这个系统不可能是完备的系统，所以总有一些问题解决不了，总有一些陈述说不了。

五认知的极限之：图灵证明Halting Problem无解

刚才我讲的是数学，下面我把数学稍微扩充一点，开始讲计算机。

我们得到了一个结论：任何一个体制、体系，只要你给出公理或者你知道的东西是有限的，那么你的结论就是有限的，你好多事就不可以做，这就是为什么我做的题目是不可能的挑战，认知的极限。图灵，大家都知道，计算机之父。图灵根据哥德尔的证明，证明了Halting Problem是无解，这本身也说明了计算机本身的逻辑和构造是有限的。我为什么要特意说这个问题呢？因为前段时间AlphaGo打败了李世石之后，不少人说计算机是不是要征服人类，其实大家完全不必担心，因为计算机整体构造太简单，那么简单的逻辑和结构，能力是有限的，它可以很快，但是更高的角度来看，它的认知方面和智力方面是有限的。

六认知的极限之：人类的智能和认知

下面我要班门弄斧讲讲生命科学。现代生物学的理论认为我们的认知是基于神经元的充电和放电，现在的模型基本上是属于一个物理化学的过程，物理化学的过程其实非常简单。生命是什么呢？生命科学家告诉我们就是充电和放电。假如人的生物学来讲是这样的，认知的极限就非常有限。我一直想证一个数学定理，这个定理是人的生命是不可能仅仅是现代生物学家所描述的那样，是一个物理化学过程，也许还有我们尚未理解的更深刻的机理。这个机理大家有可能对学数学感兴趣的，可以用数学的方法来证明。比如说我来证明一下人的自主的、自由的意识是没有办法仅仅用充电跟放电来达到的，这是我希望能证的。但我不是生物学家，我希望能有数学和生物结合在一起做出这样样一个事。

人比猴子早了几百万年，假如猴子看人类社会，它们可能基本上没有办法能知道我们在干什么。但从另外一个角度来讲，我们比他们也先进不了多少。假如它们的智力、智能是充电放电，我们跟它们一样的话，我们能比它们多多少呢？一个人可以说是在非常有限的范围之内在看整个世界，我们认知的局限性还是很大的。

（相关视频稍后推出，敬请关注）

文章转载请注明出处为 “未来论坛”微信账号（ID：futureforum）

未来论坛官网：www.futureforum.org.cn

未来论坛，是民非企业性质的公益组织，是承载人类科技梦想，用科技改变世界的公益平台；也是连接前沿科技，解读未来趋势的思想平台。

“理解未来”系列讲座，由未来论坛倾力打造，是面向社会大众开放的高质量月度科普讲座。“理解未来”系列讲座邀请富有洞察力、创新性和前瞻性的知名科学家和创业者与大众分享交流对未来的认知，促进社会大众对未来的理解与思考。